IIR（Infinite Impulse Response，无限冲激响应）数字是一种重要的数字滤波器类型，用于信号处理领域。IIR滤波器的主要特点是它的冲激响应（Impulse Response）是无限长的，意味着它的输出不仅依赖于当前的输入，还依赖于过去的输入和输出值。相比之下，FIR（Finite Impulse Response，有限冲激响应）数字滤波器的冲激响应是有限长的，输出只与当前和过去的输入有关。

IIR数字滤波器的基本概念

IIR滤波器的工作原理可以简单地描述为一种递归系统，其中当前的输出依赖于当前输入和之前的输出。它的数学模型通常由差分方程表示，具有递归性，因此输出是当前和过去的输入信号的加权和，且可能还包括过去的输出信号。

IIR滤波器的标准差分方程形式为：

<br>y[n]=?k=1∑Maky[n?k]+k=0∑Nbkx[n?k]

其中：

• <br>y[n] 是输出信号；
• ]x[n] 是输入信号；
• <br>ak 是滤波器的反馈系数（与输出相关）；
• <br>bk 是滤波器的前馈系数（与输入相关）；
• <br>M 和N 是反馈和前馈系数的阶数，决定了滤波器的阶数。

IIR滤波器的主要特点

1. 递归性：IIR滤波器的输出不仅依赖于当前的输入，还依赖于以前的输出，因此是递归的。相比之下，FIR滤波器的输出只依赖于输入。

2. 无限冲激响应：IIR滤波器的冲激响应是无限长的，这意味着一旦输入信号发生变化，滤波器的输出将持续响应很长时间，直到系统稳定。

3. 效率高：由于IIR滤波器通常需要较少的系数来实现相同的频率响应，因此它们比FIR滤波器在计算上更为高效，尤其在实现高阶滤波时。

4. 稳定性问题：IIR滤波器可能存在稳定性问题，因为反馈环节可能导致滤波器输出不稳定。设计时需要特别注意确保系统的稳定性，通常通过极点位置来保证滤波器的稳定性。

5. 相位非线性：IIR滤波器通常会引入相位失真，这意味着它们可能不适合那些要求严格相位线性的应用（如音频处理）。不过，通过合适的设计，可以尽量减小相位失真。

IIR数字滤波器的设计方法

IIR滤波器的设计主要通过两种方法：

1. 模拟滤波器转化：

   • IIR滤波器的设计通常是从模拟滤波器（如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等）开始，通过模拟到数字的转换来得到数字滤波器。常见的模拟滤波器设计方法包括：
     • 双线性变换法（Bilinear Transform）：通过此方法将模拟滤波器的频率响应映射到数字域，避免了频率失真。
     • 脉冲不变法（Impulse Invariant Transformation）：这种方法通过保持模拟滤波器的脉冲响应的形状来实现转换。

2. 直接设计方法：

   • 一些设计方法直接针对数字滤波器进行，如使用z变换方法设计滤波器的零极点（zero-pole）配置，或者使用优化方法（如二乘法）来设计滤波器的系数。

IIR滤波器的常见类型

1. ：允许低频信号通过，衰减高频信号。
2. 高通滤波器：允许高频信号通过，衰减低频信号。
3. ：允许特定频段的信号通过，衰减其他频段的信号。
4. 带阻滤波器：衰减特定频段的信号，允许其他频段的信号通过。
5. 全通滤波器：对所有频率的信号幅度影响相同，仅影响相位。

IIR滤波器的优缺点

优点：

• 效率高：由于IIR滤波器的递归性质，能够用较少的计算量实现较高阶的滤波效果。
• 性能好：可以实现具有较小延迟的滤波效果，适合实时信号处理。
• 适用广泛：广泛用于各种应用，如音频处理、图像处理、通信系统等。

缺点：

• 可能不稳定：设计时需要特别注意滤波器的稳定性，避免极点位于单位圆之外。
• 相位失真：由于IIR滤波器引入相位非线性，可能不适用于对相位要求较高的应用。
• 设计较复杂：相比FIR滤波器，IIR滤波器的设计和实现要更加复杂，特别是在保证稳定性时。

应用领域

IIR数字滤波器广泛应用于各类数字信号处理系统中，尤其是在资源有限或需要高效处理的情况下。它们被广泛用于：

• 音频处理：例如均、噪声抑制等。
• 通信系统：如滤波器的信号调制解调过程。
• 生物医学信号处理：例如心电图（ECG）信号的滤波。
• 图像处理：例如图像锐化、平滑等。